Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4cm, HE = 2cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

* Hướng dẫn giải

Xét tam giác ADE vuông tại D và có đường cao DH (do \(AH \bot DB \Rightarrow AE \bot DH\) ) ta có:

\(A{D^2} = AH.AE = 4.\left( {4 + 2} \right) = 24\)

\(\Rightarrow AD = 2\sqrt 6 \left( {cm} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADB vuông tại A với AH là đường cao ta có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}}\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} - \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{{4^2}}} - \dfrac{1}{{24}} = \dfrac{1}{{48}}\)

\(\Rightarrow AB = 4\sqrt 3 \;\;cm.\)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: \({S_{ABCD}} = AB.AD = 4\sqrt 3 .2\sqrt 6  = 24\sqrt 2 \left( {c{m^2}} \right)\)