Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(A = \left( {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x - 1...

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{3}\\\;\;\; = \left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{ - \left( {x + \sqrt x  + 1} \right) + x + 2 + \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{ - x - \sqrt x  - 1 + x + 2 + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\; = \dfrac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\; = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x  - 1}} \\\;\;= \dfrac{3}{{x + \sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Ta có: \(A = \dfrac{3}{{x + \sqrt x  + 1}}\)  

Ta có: \(x \ge 0,x \ne 1 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \)

\(\Rightarrow x + \sqrt x  + 1 \ge 1 \)

\(\Rightarrow \dfrac{3}{{x + \sqrt x  + 1}} \le 3\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x = 0\)