Cho biểu thức \(Q\left( x \right) = \dfrac{{5{x^2} + 6x + 2018}}{{x + 1}}.\) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(Q\left( x \right)\) là số nguyên.

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x \ne  - 1.\)

Ta có: \(Q\left( x \right) = \dfrac{{5{x^2} + 6x + 2018}}{{x + 1}} \)

\(= \dfrac{{5{x^2} + 5x + x + 1 + 2017}}{{x + 1}}\)

 \( = \dfrac{{5x\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 1}} + \dfrac{{2017}}{{x + 1}} \)

\(= 5x + 1 + \dfrac{{2017}}{{x + 1}}.\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q\left( x \right) \in Z \\\Leftrightarrow \left( {5x + 1 + \dfrac{{2017}}{{x + 1}}} \right) \in Z \\\Leftrightarrow \dfrac{{2017}}{{x + 1}} \in Z\;\;\left( {do\;\;x \in Z} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) \in U\left( {2017} \right).\end{array}\)

Mà \(U\left( {2017} \right) = \left\{ { - 2017; - 1;\;1;\;2017} \right\}.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 =  - 2017\\x + 1 =  - 1\\x + 1 = 1\\x + 1 = 2017\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2018\;\;\;\left( {tm} \right)\\x =  - 2\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = 0\;\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = 2016\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 2018;\; - 2;\;0;\;\;2016} \right\}.\)