Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2.\)

* Hướng dẫn giải

Phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0\) \( \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{3}{4}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = 4\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\\ \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m + 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 1 - 4m - 4 = 4\\ \Leftrightarrow m =  - \dfrac{7}{4}\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(m =  - \dfrac{7}{4}\) thỏa mãn bài toán.