Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = 3{x^2} + 4{y^2} + 4xy + 2x - 4y + 2021\)

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}T = 3{x^2} + 4{y^2} + 4xy + 2x - 4y + 2021\\\;\;\; = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + 2018\\\;\;\; = {\left( {x + 1} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + 2{\left( {x + y} \right)^2} + 2018 \ge 2018\\\left( {Do\,\,{{\left( {x + 1} \right)}^2} \ge 0;\,\,{{\left( {y - 1} \right)}^2} \ge 0;\,\,{{\left( {x + y} \right)}^2} \ge 0} \right)\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\y - 1 = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy \({T_{\min }} = 2018 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\).