Giá trị nhỏ nhất của ​\(C=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{x-\sqrt{x}}\right): \frac{1}{\sqrt{x}-1} \text { với } x>0 ; x \neq 1\) là:

* Hướng dẫn giải

 \(\begin{array}{l} C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\\ = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}} \right) \cdot (\sqrt x - 1) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}} \cdot (\sqrt x - 1) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\\ = \frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có:

\(\begin{array}{I} \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x \cdot \frac{2}{{\sqrt x }}} \\ \Leftrightarrow \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow C > 2\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy \(C_{min}= 2\sqrt 2\)