Cho biết rằng nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt t...

* Hướng dẫn giải

Do CM,DM là các tiếp tuyến nên ta có MD=BD,CM=CA.

Từ đó CA+BD=CM+MD=CD.

Từ C hạ đường cao CH xuống BD.

Khi đó ΔHCD vuông tại H, có CD là cạnh huyền và CH là cạnh góc vuông nên CD≥CH. Mặt khác CH//BA và CA⊥CH,BH⊥CH nên CHBA là hình chữ nhật.

Do đó CH=BA.  Vì vậy CD≥AB. 

Do đó CA+BD nhỏ nhất khi và chỉ khi CA+BD=AB⇔CD=AB⇔CD=CH⇔CD//AB.

Khi đó ta có ABDClà hình chữ nhật và do đó AC=BD. Mặt khác O là trung điểm AB nên M là trung điểm CD. Kéo theo CA=CM=MD=BD=R.