Cho phương trình x2-(2m+5)x+2m+1=0 (1) với x là ẩn, m là tham số

* Hướng dẫn giải

a. + Với $m=-\frac{1}{2}$  phương trình (1) trở thành $x^2-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}\right.$.

+ Vậy khi $m=-\frac{1}{2}$ phương trình có hai nghiệm x= 0 và x= 4.

b. + Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 

                           $\left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(2m+5\right)}^2-4\left(2m+1\right)>0\\ x_1+x_2=2m+5>0\\ x_1.x_2=2m+1>0\end{array}\right.$

+ Ta có $\Delta ={\left(2m+5\right)}^2-4\left(2m+1\right)=4m^2+12m+21={\left(2m+3\right)}^2+12>0,\forall m\in R$

+ Giải được điều kiện $m>-\frac{1}{2}$ (*).

+ Do P>0 nên P đạt nhỏ nhất khi $P^2$ nhỏ nhất.

+ Ta có $$\begin{gathered} P^2=\left(x_1+x_2\right)-2\sqrt{x_1{x}_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1} \\ ={\left(\sqrt{2m+1}-1\right)}^2+3\ge 3(\forall m>-\frac{1}{2}) \\ \Rightarrow P\ge \sqrt{3}(\forall m>-\frac{1}{2}) \end{gathered}$$.

và $P=\sqrt{3}$ khi m= 0 (thoả mãn (*)).

+ Vậy giá trị nhỏ nhất $P=\sqrt{3}$ khi m= 0.