Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2a+3b nhỏ hơn hoặc bằng 4

* Hướng dẫn giải

Ta có

$$\begin{gathered} Q=2002\left(\frac{1}{a}+4a\right)+2017\left(\frac{1}{b}+b\right)-5012a-7518b \\ =2002\left(\frac{1}{a}+4a\right)+2017\left(\frac{1}{b}+b\right)-2506\left(2a+3b\right) \end{gathered}$$   

+ Vì a, b dương và $2a+3b\le 4\Rightarrow 0<2a+3b\le 4$ do đó

    $Q\ge \mathrm{2002.2.}\sqrt{\frac{1}{a}.4a}+\mathrm{2017.2.}\sqrt{\frac{1}{b}.b}-2506.4=2018$ với mọi a, b>0 và $2a+3b\le 4$, dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{1}{2}$ và b= 1.

+ Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 2018  khi $a=\frac{1}{2}$ và b= 1..