Tìm m để phương trình x^2+5x+3m-1=0 (x là ẩn, m là tham số)

* Hướng dẫn giải

Để PT có hai nghiệm $x_1;x_2$ thì: $\Delta =25-12m+4\ge 0\iff 29-12m\ge 0\iff m\le \frac{29}{12}$

Ta có: $x_1^3-x_2^3+3x_1{x}_2=75\iff (x_1-x_2)[{(x_1+x_2)}^2-x_1{x}_2]+3x_1{x}_2-75=0$    (*)

Theo định lý Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-5\\ x_1{x}_2=3m-1\end{array}\right.$ thay vào (*) ta được

$$\begin{gathered} (x_1-x_2)(26-3m)+3(3m-26)=0\iff (x_1-x_2-3)(26-3m)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{26}{3}\\ x_1-x_2-3=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện thì m = 26/3 không thỏa mãn.

Kết hợp $x_1-x_2-3=0$ với hệ thức Vi - et ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2-3=0\\ x_1+x_2=-5\\ x_1{x}_2=3m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=-4\\ m=\frac{5}{3}(t/m)\end{array}\right.$.

Vậy m = 5/3  là giá trị cần tìm.