Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a+b+c= 3

* Hướng dẫn giải

Vì: $\frac{a+1}{1+b^2}=a+1-\frac{b^2(a+1)}{1+b^2}; 1+b^2\ge 2b\mathit{ }nên\mathit{ }\frac{\mathit{a}\mathit{+}\mathit{1}}{\mathit{1}\mathit{+}{\mathit{b}}^{\mathit{2}}}\ge a+1-\frac{{\mathit{b}}^{\mathit{2}}\mathit{(}\mathit{a}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{)}}{\mathit{2}\mathit{b}}=a+1-\frac{\mathit{a}\mathit{b}\mathit{+}\mathit{b}}{\mathit{2}}$

Tương tự: $$\begin{gathered} \frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}; \frac{c+1}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2} \\ \Rightarrow M\ge a+b+c+3-\frac{(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{2}=3+\frac{3-(ab+bc+ca)}{2} \end{gathered}$$

Chứng minh được: $3(ab+bc+ca)\le {(a+b+c)}^2=9ac\Rightarrow \frac{3-(ab+bc+ca)}{2}\ge 0\Rightarrow M\ge 3$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Giá trị nhỏ nhất của M bằng 3.