Cho phương trình x^2-2mx+m^2-1=0 (1), với m là tham số

* Hướng dẫn giải

1) Với m= 2 PT trở thành $x^2-4x+3=0$ 

Giải phương trình tìm được các nghiệm $x=1; x=3.$ 

2) Ta có $\Delta \text{'}=m^2-m^2+1=1>0,\forall m.$ 

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Từ giả thiết ta có $$\begin{gathered} x_i^2-2m{x}_i+m^2-1=0,i=1;2. \\ {x}_i^3-2m{x}_i^2+m^2{x}_i-2=x_i\left(x_i^2-2m{x}_i+m^2-1\right)+x_i-2=x_i-2,i=1;2. \end{gathered}$$ 

Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có $x_1+x_2=2m;x_1.x_2=m^2-1$ 

Ta có

 $\begin{array}{l}\left(x_1-2\right)+\left(x_2-2\right)=2m-4;\\ \left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)=x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+4=m^2-1-4m+4=m^2-4m+3\end{array}$

Vậy phương trình bậc hai nhận $x_1^3-2m{x}_1^2+m^2{x}_1-2, x_2^3-2m{x}_2^2+m^2{x}_2-2$ là nghiệm là $x^2-\left(2m-4\right)x+m^2-4m+3=0.$