Cho phương trình x^2 - 2(m+1)x + m - 1 = 0 (m là tham số)

* Hướng dẫn giải

Phương trình có $\Delta \text{'}={\left(m+1\right)}^2-1.\left(m-1\right)=m^2+2m+1-m+1=m^2+m+2$.

$\Delta \text{'}=m^2+m+2={\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\left(2-\frac{1}{4}\right)={\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0,\forall m$.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Khi đó, theo Vi-ét

$$\begin{gathered} x_1+x_2=2m+2\left(1\right) \\ {x}_1.x_2=m-1 \left(2\right) \end{gathered}$$;   

Theo đề bài ta có $3x_1+x_2=0$ (3)

Từ (1) và (3) suy ra $x_1=-1-m;x_2=3m+3$ thay vào (2) ta được

$\left(-1-m\right)\left(3m+3\right)=m-1\iff \left[\begin{array}{c}m=-2\\ m=-\frac{1}{3}\end{array}\right.$