Giải phương trình căn(3x^2+2x+4)=(8x^3+12x^2+8x+1)/(3x^2+2x+5)

* Hướng dẫn giải

Ta có: $\sqrt{3x^2+2x+4}=\frac{8x^3+12x^2+8x+1}{3x^2+2x+5}=\frac{{(2x+1)}^3+2x+1}{3x^2+2x+5}$ (1)

Dễ thấy $3x^2+2x+4>0$ với mọi x. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\sqrt{3x^2+2x+4}\\ v=2x+1\end{array}\right..$

 Ta có:  $\left(1\right)\iff u=\frac{v^3+v}{u^2+1}\iff u^3+u=v^3+v\iff (u-v)(u^2+uv+v^2+1)=0\iff u=v$

(Vì $u^2+uv+v^2+1={\left(u+\frac{v}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{v}^2+1>0$)

 $$\begin{gathered} u=v\iff \sqrt{3x^2+2x+4}=2x+1\Rightarrow 3x^2+2x+4=4x^2+4x+1 \\ {x}^2-2x-3=0\Rightarrow x=3 hoac x=-1. \end{gathered}$$

Thử lại, ta nhận x= 3