Giải phương trình (x^2-4)^3=(căn bậc 3 ((x^2+4)^2+4)^2

* Hướng dẫn giải

ĐK: $x>\sqrt[3]{4}$ 

Đặt: $$\begin{gathered} x^3-4=u^2 \\ \sqrt[3]{x^2+4}=v(v>1)\Rightarrow v^3-4=x^2 \end{gathered}$$                                                               

Khi đó phương trình (1) $\iff {\left(u^2\right)}^3={\left(v^2+4\right)}^2\text{ hay }{u}^3-4=v^2$   (4)

Từ  (2), (3), (4)  ta có hệ phương trình:  

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3-4=u^2\\ v^3-4=x^2\\ u^3-4=v^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}^3-v^3=u^2-x^2\left(5\right)\\ u^3-x^3=v^2-u^2\left(6\right)\end{array}\right.$ 

Vì x, u, v > 1 nên giả sử $x\ge v$ thì từ (5) $\Rightarrow u\ge x$

Có $u\ge x$ nên từ (6) $\Rightarrow v\ge u$

Do đó: $x\ge v\ge u\ge x\Rightarrow x=v=u$

Mặt khác, nếu x < v thì tương tự ta có x < v < u < x (vô lí)

Vì x = u nên:

$x^3-4=x^2\iff \left(x-2\right)\left(x^2+x+2\right)=0\iff x=2$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2.