Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC

* Hướng dẫn giải

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên DN là trung trực của BC nên DN là phân giác $\widehat{BDC}$

Ta có $\widehat{KQC}=2\widehat{KMC}$ (góc nọi tiếp bằng nửa góc ở tâm trong dường tròn (Q))

$\widehat{NDC}=\widehat{KMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{NC}$)

Mà $\widehat{BDC}=2\widehat{NDC }\Rightarrow \widehat{KQC}=\widehat{BDC}$

Xét 2 tam giác BDC & KQC là các các tam giác vuông tại D và Q có hai góc ở $\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{BCQ}$ do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ//PK

Chứng minh tương tự ta có  ta có D, P, B thẳng hàng và DQ//PK

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).