iải hệ phương trình: 4căn(x+1)−xycăn(y^2+4)=0(1) căn(x^2−xy^2+1)+3căn(x−1)=xy^2

* Hướng dẫn giải

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x^2-x{y}^2+1\ge 0\end{array}\right.$kết hợp với phương trình (1), ta có y>0

Từ (1) ta có:

$$\begin{gathered} 4\sqrt{x+1}-xy\sqrt{y^2+4}=0\iff 4\sqrt{x+1}=xy\sqrt{y^2+4} \\ \iff 16\left(x+1\right)=x^2{y}^2\left(y^2+4\right)\iff \left(y^4+4y^2\right)x^2-16x-16=0 \end{gathered}$$

Giải phương trình theo ẩn x ta được $x=\frac{4}{y^2}$ hoặc $x=\frac{-4}{y^2+4}<0$ (loại)

Với $x=\frac{4}{y^2}\iff x{y}^2=4$ thế vào phương trình (2), ta được $\sqrt{x^2-3}+3\sqrt{x-1}=4$

Điều kiện $x\ge \sqrt{3}$ ta có

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2-3}+3\sqrt{x-1}=4 \\ \iff \left(\sqrt{x^2-3}-1\right)+3\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0 \\ \iff \frac{x^2-4}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{x-1}+1}=0 \\ \iff \left(x-2\right)\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0 \\ \iff x-2=0 (vì \frac{x+2}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3}{\sqrt{x-1}+1}>0) \\ \iff x=2. \end{gathered}$$

Với x= 2 ta có $\left\{\begin{array}{l}{y}^2=2\\ y>0\end{array}\right.\iff y=\sqrt{2}$ 

Kết hợp với điều  kiện trên, hệ phương trình có nghiệm $\left(2;\sqrt{2}\right)$