Chứng minh biểu thức S=n^3(n+2)^2+(n+1)(n^3−5n+1)−2n−1

* Hướng dẫn giải

Ta có: 

$$\begin{gathered} S=n\left(n^4+5n^3+5n^2-5n-6\right) \\ =n[\left(n^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}\right)\left(n^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{6}\right)\mathrm{+}\mathrm{5}n\left(n^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}\right)] \\ =n(n^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1})(n^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{5}n\mathrm{+}\mathrm{6}) \\ =n(n\mathrm{-}\mathrm{1})(n\mathrm{+}\mathrm{1})(n\mathrm{+}\mathrm{2})(n\mathrm{+}\mathrm{3}) \\ =(n\mathrm{-}\mathrm{1})n(n\mathrm{+}\mathrm{1})(n\mathrm{+}\mathrm{2})(n\mathrm{+}\mathrm{3}) \end{gathered}$$

Ta có S là tích của 5 số nguyên tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5! nên chia hết cho 120.