Cho ba số a, b, c thỏa mãn a+b+c=0 và |a|<=1, b<=1, c<=1

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết $\left|a\right|\le 1,\left|b\right|\le 1,\left|c\right|\le 1$ ta có $a^4\le a^2,b^6\le b^2,c^8\le c^2$. Từ đó $a^4+b^6+c^8\le a^2+b^2+c^2$

Lại có: $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le 0 và \left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge 0$ nên

$$\begin{gathered} \left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)-\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge 0 \\ \iff 2ab+2bc+2ca+2\ge 0\iff -2\left(ab+bc+ca\right)\le 2 \end{gathered}$$

Hơn nữa $a+b+c=0\iff a^2+b^2+c^2=-\left(ab+bc+ca\right)\le 2$

$\Rightarrow a^4+b^6+c^8\le 2$