Giải hệ phương trình 1/cănx−cănx/y=x^2+xy−2y^2 (1) (căn(x+3)−căny)(1+căn(x^2+3x)=3

* Hướng dẫn giải

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{y}=x^2+xy-2y^2\left(1\right)\\ \left(\sqrt{x+3}-\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{x^2+3x}\right)=3\left(2\right)\end{array}\right.$

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ x+3\ge 0\\ x^2+3x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff \frac{y-x}{y\sqrt{x}}=(x-y)(x+2y)\iff (x-y)\left(x+2y+\frac{1}{y\sqrt{x}}\right)=0\iff x=y$ do $x+2y+\frac{1}{y\sqrt{x}}>0,\forall x,y>0$

Thay y = x vào phương trình (2) ta được:

$\begin{array}{l}(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(1+\sqrt{x^2+3x})=3\iff 1+\sqrt{x^2+3x}=\frac{3}{\sqrt{x+3}-\sqrt{x}}\\ \iff 1+\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x}\iff \sqrt{x+3}.\sqrt{x}-\sqrt{x+3}-\sqrt{x}+1=0\\ \iff (\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x}-1)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{x+3}=1\\ \sqrt{x}=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\left(L\right)\\ x=1\left(tm\right)\end{array}\right.\Rightarrow x=y=1\end{array}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1)