Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab

* Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có $\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}\ge 1+ab=1+a+b$ (1)

Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

$\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+y)\ge 2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}.2\sqrt{xy}=4\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$ (2)

Áp dụng (1) và (2) ta có:

$\begin{array}{l}P\ge \frac{4}{a^2+2a+b^2+2b}+1+a+b=\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+1+a+b\\ =\frac{4}{{(a+b)}^2}+\frac{a+b}{8}+\frac{7(a+b)}{8}+1\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

$a+b=ab\le \frac{{(a+b)}^2}{4}\Rightarrow {(a+b)}^2\ge 4(a+b)\Rightarrow a+b\ge 4$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

$$\begin{gathered} \frac{4}{{(a+b)}^2}+\frac{a+b}{16}+\frac{a+b}{16}\ge 3\sqrt[3]{\frac{4}{{(a+b)}^2}.\frac{a+b}{16}.\frac{a+b}{16}}=\frac{3}{4} \\ \Rightarrow P\ge \frac{3}{4}+\frac{7}{8}.4+1=\frac{21}{4} \end{gathered}$$

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21/4