Cho parabol (P): y = -x^2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số

* Hướng dẫn giải

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): $-x^2=2mx-1\iff x^2+2mx-1=0$

Phương trình (*) có ∆’ = m² + 1 > 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ∀ m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Áp dụng Viét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1{x}_2=-1\end{array}\right.\Rightarrow |x_1-x_2|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2}=\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{4m^2+4}=2\sqrt{m^2+1}$

Khi đó ta có 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{y}_1=2m{x}_1-1\\ y_2=2m{x}_2-1\end{array}\right.\Rightarrow |y_1^2-y_2^2|=|{(2m{x}_1-1)}^2-{(2m{x}_2-1)}^2| \\ \begin{array}{l}\Rightarrow |y_1^2-y_2^2|=\left|\right(2m{x}_1-1-2m{x}_2+1\left)\right(2m{x}_1-1+2m{x}_2-1\left)\right|=\left|4m\right(x_1-x_2\left)\text{[}m\right(x_1+x_2)-1]|\\ =\left|4m\right(2m^2+1\left)\right(x_1-x_2\left)\right|=4\left|m(2m^2+1)\right||x_1-x_2|=4\left|m\right|(2m^2+1)2\sqrt{m^2+1}\end{array} \end{gathered}$$Ta có: $|y_1^2-y_2^2|=3\sqrt{5}\iff 64m^2{(2m^2+1)}^2(m^2+1)=45\iff 64(4m^4+4m^2+1)(m^4+m^2)=45$

Đặt: $m^4+m^2=t\ge 0$có phương trình $$\begin{gathered} 64t(4t+1)=45\iff 256t^2+64t-45=0\iff t=\frac{5}{16} (vì t\ge 0) \\ \Rightarrow m^4+m^2=\frac{5}{16}\iff 16m^4+16m^2-5=0\iff m=\pm \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Vậy $m=\pm \frac{1}{2}$