Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc

* Hướng dẫn giải

Từ điều kiện đề bài ta có $\frac{ab+bc+ca}{abc}=3\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$ 

Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

$$\begin{gathered} a^2+bc\ge 2\sqrt{a^2.bc}=2a\sqrt{bc}\Rightarrow \frac{a}{a^2+bc}\le \frac{2}{2a\sqrt{bc}}=\frac{1}{2\sqrt{bc}} \\ \frac{1}{\sqrt{b}}.\frac{1}{\sqrt{c}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\Rightarrow \frac{a}{a^2+bc}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \end{gathered}$$

Tương tự ta có: 

$$\begin{gathered} \frac{b}{b^2+ca}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right);\frac{c}{c^2+ab}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \\ \Rightarrow \frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}. \end{gathered}$$