Tìm các số nguyên k để k^4−8k^3+23k^2−26k+10 là số chính phương

* Hướng dẫn giải

Đặt $M=k^4-8k^3+23k^2-26k+10$ 

Ta có $$\begin{gathered} M=(k^4-2k^2+1)-8k(k^2-2k+1)+9k^2-18k+9 \\ ={(k^2-1)}^2-8k{(k-1)}^2+9{(k-1)}^2={(k-1)}^2.\left[{(k-3)}^2+1\right] \end{gathered}$$  

M là số chính phương khi và chỉ khi ${(k-1)}^2=0$ hoặc ${(k-3)}^2+1$ là số chính phương.

TH 1. ${(k-1)}^2=0\iff k=1.$ 

TH 2. ${(k-3)}^2+1$ là số chính phương, đặt ${(k-3)}^2+1=m^2(m\in \mathbb{Z})$ 

$\iff m^2-{(k-3)}^2=1\iff (m-k+3)(m+k-3)=1$ 

Vì $m,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow m-k+3\in \mathbb{Z},m+k-3\in \mathbb{Z}$ nên

$\left\{\begin{array}{l}m-k+3=1\\ m+k-3=1\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}m-k+3=-1\\ m+k-3=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=1,k=3\\ m=-1,k=3\end{array}\right.\Rightarrow k=3$

Vậy k = 1 hoặc k = 3 thì $k^4-8k^3+23k^2-26k+10$ là số chính phương