Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình

* Hướng dẫn giải

Ta có: $x^3+y^3={(x+y)}^2<=>(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0$

Vì x, y nguyên dương nên x+y > 0, ta có: $x^2-xy+y^2-x-y=0$

$\begin{array}{l}\iff 2(x^2-xy+y^2-x-y)=0\\ \iff {\left(x-y\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2+{(y-1)}^2=2\end{array}$

Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp:

+ Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ {\left(x-1\right)}^2=1\iff x=y=2,z=4\\ {\left(y-1\right)}^2=1\end{array}\right.$

+ Trường hợp 2: $\left\{\begin{array}{l}x-1=0\\ {\left(x-y\right)}^2=1\iff x=1,y=2,z=3\\ {\left(y-1\right)}^2=1\end{array}\right.$

+ Trường hợp 3: $\left\{\begin{array}{l}y-1=0\\ {\left(x-y\right)}^2=1\\ {\left(x-1\right)}^2=1\end{array}\right.\iff x=2,y=1,z=3$

Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4)