Cho x>0, y>0, z>0 và xyz=1. Chứng minh rằng 1/(x+y+1)+1/(y+z+1)+1/(z+x+1)<=1

* Hướng dẫn giải

$Đặt \left\{\begin{array}{l}x=a^3\\ y=b^3\\ z=c^3\end{array}\right., vì \left\{\begin{array}{l}x,y,z>0\\ xyz=1\end{array}\right.=>\left\{\begin{array}{l}a,b,c>0\\ abc=1\end{array}\right.$

Ta có: $x+y+1=a^3+b^3+1=(a+b)(a^2-ab+b^2)+1\ge (a+b)ab+1=ab(a+b+c)=\frac{a+b+c}{c}$

Do đó: $\frac{1}{x+y+1}\le \frac{c}{a+b+c}$

Tương tự ta có: $\begin{array}{l}\frac{1}{y+z+1}\le \frac{a}{a+b+c}\\ \frac{1}{z+x+1}\le \frac{b}{a+b+c}\end{array}$

Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm