Tìm m để phương trình (x−2)(x−3)(x+4)(x+5)=m

* Hướng dẫn giải

Phương trình

$\begin{array}{l}(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=m\\ <=>(x^2+2x-8)(x^2+2x-15)=m\left(1\right)\end{array}$

Đặt $x^2+2x+1={(x+1)}^2=y(y\ge 0)$ phương trình (1) trở thành:

$(y-9)(y-16)=m<=>y^2-25y+144-m=0\left(2\right)$

Nhận xét: Với mỗi giá trị y > 0 thì phương trình: (x+1)²=y có 2 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệtÛ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

$\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}=4m+49>0\\ 25>0\\ 144-m>0\end{array}\right.<=>\frac{-49}{4}<n<144$

Vậy với $\frac{-49}{4}<n<144$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.