Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O

* Hướng dẫn giải

Vì DPN+DQN=90^o+90^o=180^o nên DPNQ là tứ giác nội tiếp

=>QPN=QDN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QN) (5)

Mặt khác DENF là tứ giác nội tiếp nên QDN=FEN  (6)

Từ (5) và (6) ta có FEN=QPN (7)

Tương tự ta có: EFN=PQN  (8)

Từ (7) và (8) suy ra $\Delta NPQ~\Delta NEF(g.g)=>\frac{PQ}{EF}=\frac{NQ}{NF}$

Theo quan hệ đường vuông góc – đường xiên, ta có

$NQ\le NF=>\frac{PQ}{EF}=\frac{NQ}{NF}\le 1=>PQ\le EF$

Dấu bằng xảy ra khi Q ≡ F ⇔ NF ⊥ DF ⇔ D, O, N thẳng hàng.

Do đó PQ max khi M là giao điểm của AC và BN, với N là điểm đối xứng với D qua O.