Cho hệ phương trình a^2.x - y = b; 2ax - y = b a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm

* Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ về dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}={\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-\mathrm{b}\left({\mathrm{d}}_1\right)\\ \mathrm{y}=2\mathrm{ax}-\mathrm{b}\left({\mathrm{d}}_2\right)\end{array}\right.$

Nhận xét rằng, hai đường thẳng $\left({\mathrm{d}}_1\right)$ và $\left({\mathrm{d}}_2\right)$ ứng với hai phương trình trong hệ luôn cắt trục tung Oy tại điểm $\mathrm{I}\left(0;\mathrm{b}\right)$

Vậy hệ luôn có nghiệm (0; b) với mọi a, b bất kì.

b) Hệ có nghiệm duy nhất khi $\left({\mathrm{d}}_1\right)$ cắt $\left({\mathrm{d}}_2\right)$

$$\begin{gathered} \iff {\mathrm{a}}^2\ne 2\mathrm{a}\iff {\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}\ne 0 \\ \iff \mathrm{a}\left(\mathrm{a}-2\right)\ne 0\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}\ne 0\\ \mathrm{a}\ne 2\end{array}\right. \end{gathered}$$

c) Hệ có vô số nghiệm khi $\left({\mathrm{d}}_1\right)$ trùng $\left({\mathrm{d}}_2\right)$

$$\begin{gathered} \iff {\mathrm{a}}^2=2\mathrm{a}\iff {\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}=0 \\ \iff \mathrm{a}\left(\mathrm{a}-2\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{a}=0\\ \mathrm{a}=2\end{array}\right. \end{gathered}$$