Cho hệ phương trình a) Chứng tỏ rằng với mọi m

* Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình (2) suy ra $\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{m}\left(3\right)$. Thay vào phương trình (1) ta có:

Khi $\mathrm{x}=\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2}$ thay vào (3) ta được: $\mathrm{y}=\mathrm{m}.\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2}+\mathrm{m}\iff \mathrm{y}=\frac{2\mathrm{m}}{1+{\mathrm{m}}^2}$

Vậy với mọi giá trị của m hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2};\frac{2\mathrm{m}}{1+{\mathrm{m}}^2}\right)$

b) Để thỏa mãn bài toán khi

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2}>0\\ \frac{2\mathrm{m}}{1+{\mathrm{m}}^2}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}1-{\mathrm{m}}^2>0\\ 2\mathrm{m}>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{m}}^2<1\\ \mathrm{m}>0\end{array}\right.\iff 0<\mathrm{m}<1 \end{gathered}$$

Vậy với 0 < m < 1 hệ có nghiệm thỏa mãn bài toán.