Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung 2x^2 + mx - 1 = 0

* Hướng dẫn giải

Để thỏa mãn bài toán khi và chỉ khi hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{mx}-1=0\\ {\mathrm{mx}}^2-\mathrm{x}+2=0\end{array}\right.$ (*)

Có nghiệm

Đặt $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$, điều kiện $\mathrm{y}\ge 0$

Khi đó hệ phương trình (*) trở thành $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{mx}+2\mathrm{y}-1=0\left(1\right)\\ -\mathrm{x}+\mathrm{my}+2=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (2) suy ra $\mathrm{x}=\mathrm{my}+2\left(3\right)$. Thay vào phương trình (1) ta có:

Thay $\mathrm{y}=\frac{1-2\mathrm{m}}{{\mathrm{m}}^2+2}$ vào (3) ta có

So sánh với điều kiện suy ra $1-2\mathrm{m}\ge 0\iff \mathrm{m}\le \frac{1}{2}$

Do $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$ nên ${\left(\frac{\mathrm{m}+4}{{\mathrm{m}}^2+2}\right)}^2=\frac{1-2\mathrm{m}}{{\mathrm{m}}^2+2}$ $\iff {\left(\mathrm{m}+4\right)}^2=\left(1-2\mathrm{m}\right)\left({\mathrm{m}}^2+2\right)$

Do ${\mathrm{m}}^2-\mathrm{m}+1={\left(\mathrm{m}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall \mathrm{m}$ nên (3) $\iff \mathrm{m}+1=0\iff \mathrm{m}=-1$ 

So sánh với điều kiện thỏa mãn.

Vậy m = -1 hai phương trình có nghiệm chung.