Xác định m để phương trình m^2.x^2 - 3mx^2 + (m^2 + 2)x - m = 0, với m khác 0

* Hướng dẫn giải

Viết lại phương trình về dạng:

$\left({\mathrm{x}}^3+\mathrm{x}\right){\mathrm{m}}^2-\left(3{\mathrm{x}}^2+1\right)\mathrm{m}+2\mathrm{x}=0$

Coi m là ẩn, x là tham số, ta được phương trình bậc hai theo m.

Giải ra ta được $\mathrm{m}=\frac{1}{\mathrm{x}}$ hoặc $\mathrm{m}=\frac{2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+1}$

Do đó phương trình được chuyển về dạng

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{mx}-1\right)\left({\mathrm{mx}}^2-2\mathrm{x}+\mathrm{m}\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{mx}-1=0\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{mx}}^2-2\mathrm{x}+\mathrm{m}=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $\frac{1}{\mathrm{m}}$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}\ne 0\\ \mathrm{\Delta }\text{'}>0\\ \mathrm{f}\left(\frac{-1}{\mathrm{m}}\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\ne 0\\ 1-{\mathrm{m}}^2>0\\ \mathrm{m}-\frac{1}{\mathrm{m}}\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\ne 0\\ \left|\mathrm{m}\right|<1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với $\mathrm{m}\in \left(-1;1\right)\backslash \left\{0\right\}$ phương trình có ba nghiệm phân biệt.