Giải phương trình (x - 2)^4 + (x - 2)(5x^2 - 14x + 13) + 1 = 0 (1)

* Hướng dẫn giải

Nhận xét rằng đây không phải là một phương trình hồi quy, tuy nhiên nếu dặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ có một phương trình hồi quy.

Thật vậy, đặt y = x – 2, phương trình đươc biến đổi về dạng:

${\mathrm{y}}^4+\mathrm{y}\left[5{\left(\mathrm{y}+2\right)}^2-14\left(\mathrm{y}+2\right)+13\right]$$+1=0$

$\iff {\mathrm{y}}^4+5{\mathrm{y}}^3+6{\mathrm{y}}^2+5\mathrm{y}+1=0$ (2)

Nhận xét rằng y = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho ${\mathrm{y}}^2\ne \mathrm{o}$, ta được phương trình tương đương

$\left({\mathrm{y}}^2+\frac{1}{{\mathrm{y}}^2}\right)+5\left(\mathrm{y}+\frac{1}{\mathrm{y}}\right)+6=0$

Đặt $\mathrm{t}=\mathrm{y}+\frac{1}{\mathrm{y}}\Rightarrow {\mathrm{y}}^2+\frac{1}{{\mathrm{y}}^2}={\mathrm{t}}^2-2$

Khi đó phương trình có dạng:

${\mathrm{t}}^2+5\mathrm{t}+4=0\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{t}=-1\\ \mathrm{t}=-4\end{array}\right.$

Với t = -1$\Rightarrow \mathrm{y}+\frac{1}{\mathrm{y}}=-1\iff {\mathrm{y}}^2+\mathrm{y}+1=0$ vô nghiệm

Với t = -4$\Rightarrow \mathrm{y}+\frac{1}{\mathrm{y}}=-4\iff {\mathrm{y}}^2+4\mathrm{y}+1=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{y}=-2-\sqrt{3}\\ \mathrm{y}=-2+\sqrt{3}\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=-\sqrt{3}\\ \mathrm{x}=\sqrt{3}\end{array}\right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $\mathrm{x}=-\sqrt{3},\mathrm{x}=\sqrt{3}$.