Giải phương trình: (x^2 - x)^2 - 2x(3x - 5) - 3 = 0

* Hướng dẫn giải

Nhận xét rằng đây không phải là phương trình hồi quy, tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ có một phương trình hồi quy.

Thật vậy, đặt y = x – 1. Phương trình được biến đổi về dạng:

Nhận xét rằng y = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho ${\mathrm{y}}^2\ne 0$, ta được phương trình tương đương

$\left({\mathrm{y}}^2+\frac{1}{{\mathrm{y}}^2}\right)+2\left(\mathrm{y}-\frac{1}{\mathrm{y}}\right)-5=0$

Đặt $\mathrm{t}=\mathrm{y}-\frac{1}{\mathrm{y}}$$\Rightarrow {\mathrm{y}}^2+\frac{1}{{\mathrm{y}}^2}={\mathrm{t}}^2+2$

Khi đó phương trình có dạng:

${\mathrm{t}}^2+2\mathrm{t}-3=0\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{t}=1\\ \mathrm{t}=-3\end{array}\right.$

Với t = -1, ta có $\mathrm{y}-\frac{1}{\mathrm{y}}=1\iff {\mathrm{y}}^2-\mathrm{y}-1=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{y}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \mathrm{y}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Với t = -3, ta có $\mathrm{y}-\frac{1}{\mathrm{y}}=-3\iff {\mathrm{y}}^2+3\mathrm{y}+1=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{y}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\\ \mathrm{y}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.$

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt