a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua

* Hướng dẫn giải

a) Giả sử đường kính CD của đường tròn (O) có C là điểm chính giữa của cung AB.

Nghĩa là AC = CB. Suy ra $\widehat{{\mathrm{O}}_1}=\widehat{{\mathrm{O}}_2}$

Gọi I là giao điểm của CD và AB, ta có:

OI vừa là tia phân giác vừa là trung tuyến của tam giác OAB

Vậy I là trung điểm của AB

Mệnh đề đảo không đúng, ta cần bổ sung thêm “Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm của đường tròn thì nó vuông góc với dây đó”.

b) Đường kính CD đi qua C là điểm chính giữa cung AB nên AC = CB

Suy ra $\widehat{\mathrm{AOC}}=\widehat{\mathrm{COB}}$ => OC là tia phân giác của góc $\widehat{\mathrm{AOB}}$

Vì tam giác OAB cân tại O nên đường phân giác đồng thời là đường cao

Vậy ta có $\mathrm{OC}\perp \mathrm{AB}\Rightarrow \mathrm{CD}\perp \mathrm{AB}$