Trang chủ Đề thi & kiểm tra Lớp 9 Toán học Bài tập ôn tập chương 3 hình học 9 có đáp án !!

Bài tập ôn tập chương 3 hình học 9 có đáp án !!

Toán học - Lớp 9

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 Căn bậc hai

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 6 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 9 Căn bậc ba

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 2 Đồ thị của hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 3 Phương trình bậc hai một ẩn

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 4 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 2 Hàm số bậc nhất

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 5 Công thức nghiệm thu gọn

Trắc nghiệm Bài 6 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng - Toán 9

Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 7 Phương trình quy về phương trình bậc hai

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 3 Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 2 Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 8 Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 4 Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 3 Bảng lượng giác

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 4 Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 5 Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn Thực hành ngoài trời

Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 1 Sự xác định của đường tròn Tính chất đối xứng của đường tròn

Câu 1 : Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào thời điểm sau:

Câu 2 : Cho đường tròn (O, R), dây AB = R. Tính số đo hai cung $\overset{⏜}{AB}$

Câu 3 : Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Biết $\hat{AMB} = 35^{o}$

Câu 4 : Cho đường tròn (O), góc ở tâm $\hat{AOB} = 120^{o}$ , góc ở tâm $\hat{AOC} = 30^{o}$ . Tính số đo cung $\overset{⏜}{BC}$

Câu 5 : Cho $∆ ABC$ có $\hat{A} = α, \hat{B} = β$ . Đường tròn (O) nội tiếp tam giác AB, AC, BC theo thứ tự ở D, E, F.

Câu 6 : Chứng minh rằng nếu một tiếp tuyến song song với một dây thì tiếp điểm chia đôi cung căng dây.

Câu 7 : Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn $90^{0}$ . Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh rằng

Câu 8 : Cho đường tròn tâm (O;R), dây AB = R $\sqrt{2}$ . Tính số đo hai cung $\overset{⏜}{AB}$

Câu 9 : Cho $∆$ ABC có $\hat{A} = 70^{0}$ . Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự ở D, E. Tính số đo cung nhỏ $\overset{⏜}{DE}$

Câu 10 : Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AM và AN, chúng tạo với nhau một góc $α$ .

Câu 11 : Cho đường tròn (O) và dây AB. Lấy hai điểm M và N nằm trên cung nhỏ AB chia cung này thành ba cung bằng nhau $\overset{⏜}{AM} = \overset{⏜}{MN} = \overset{⏜}{NB}$ . Các bán kính OM và ON cắt AB tại C và D. Chứng minh rằng AC = BD và AC > CD.

Câu 12 : Cho đường tròn (O) và một dây AB sao cho số đo của cung lớn AB gấp đôi cung nhỏ AB. Tính diện tích $∆ OAB$ .

Câu 13 : Cho hai đường tròn đồng tâm (O;R) và $(O; \frac{R \sqrt{3}}{2})$ . Tiếp tuyến của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tính số đo của hai cung $\overset{⏜}{AB}$

Câu 14 : Cho $∆$ ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng

Câu 15 : a) Vẽ đường tròn tâm (O), bán kính R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung $\overset{⏜}{AB}$ có số đo bằng $60^{0}$ . Hỏi dây AB dài bao nhiêu xen – ti – mét?

Câu 16 : Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây MC cắt dây AB tại D. Vẽ đường vuông góc với AB tại D, cắt OC ở K. Chứng minh rằng là tam giác cân.

Câu 17 : Chứng minh rằng hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Câu 18 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH của tam giác cắt đường tròn ở D. Vẽ đường kính AE.

Câu 19 : Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’). Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’)

Câu 20 : Tứ giác ABCD có $\overset{⏜}{B} = \overset{⏜}{D} = 90^{0}$ . Biết AB < AD, chứng minh rằng BC > CD.

Câu 21 : Hai đường tròn (O) và (O’) cùng bán kính cắt nhau tại M và N.

Câu 22 : Cho $∆ ABC$ . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp $∆ DBC$ . Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc với OH, OK với BC và BD ( $H \in BC, K \in BD$ )

Câu 23 : Trên dây cung $\overset{⏜}{AB}$ của đường tròn (O) lấy hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng $\overset{⏜}{AE} = \overset{⏜}{BF} < \overset{⏜}{EF}$

Câu 24 : a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

Câu 25 : Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng ê ke thì phải làm như thế nào?

Câu 26 : Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4 cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm.

Câu 27 : Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, BA theo thứ tự tại D, E, F. Cho biết $\hat{BAC} = \hat{EDF}$ . Tính số đo của góc $\hat{BAC}$ .

Câu 28 : Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Câu 29 : Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Gọi K là giao điểm của EB với đường tròn (O) và H là giao điểm của BD và AK.

Câu 30 : Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: ${MA}^{2} = MB . MC$

Câu 31 : Cho $∆ ABC$ có ba góc nhọn. Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB, AC tại D, E. Gọi I là giao điểm của BS và CD.

Câu 32 : Cho AB, BC, CA là ba dãy của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh rằng SM = SC và SN = SA.

Câu 33 : Cho đường tròn (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D.

Câu 34 : Cho một đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến.

Câu 35 : Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB và C là một điểm bên ngoài đường tròn. Nối CA, CB gặp đường tròn theo thứ tự ở M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN.

Câu 36 : Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và (O’) tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì: Tại sao?

Câu 37 : Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ đường kính AOC và AO’D

Câu 38 : Cho tam giác ABC. Hai đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại một điểm thứ hai là D.

Câu 39 : Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau cắt nhau tại M (điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm B nằm trên cung nhỏ CD)

Câu 40 : Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi O là điểm chính giữa của nửa đường tròn và M là một điểm bất kì của nửa đường tròn đó. Tia AM cắt đường tròn (O; OA) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng MN = MB.

Câu 41 : Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I và K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI

Câu 42 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ một đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB tại các điểm thứ hai là M và N. Chứng minh rằng:

Câu 43 : Cho $∆ ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Kẻ đường kính AE.

Câu 44 : Cho $∆ ABC$ nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt đường tròn tại M.

Câu 45 : Cho $∆ ABC$ nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm trên cung BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho MD = MB.

Câu 46 : Cho nửa đường tròn đường kính AB, K là điểm chính giữa cung AB. Vẽ bán kính OC sao cho $\hat{BOC} = 60^{0}$

Câu 47 : Từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó. Chứng minh rằng ${MT}^{2}$ = MA.MB

Câu 48 : Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Tia Mx quay quanh M và cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Gọi I là một điểm thuộc tia Mx sao cho ${MI}^{2}$ = MA.MB. Tìm quỹ tích điểm I.

Câu 49 : Cho A, B, C là ba điểm cùng nằm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh rằng AB.AM = AC.AN.

Câu 50 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ hai tiếp tuyến với hai đường tròn. Hai tiếp tuyến này gặp đường tròn O ở C và đường tròn (O’) ở D. Chứng minh rằng $\hat{ABC} = \hat{ABD}$

Câu 51 : Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh rằng $\hat{APO} = \hat{PBT}$

Câu 52 : Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở A. Tính số đo các góc $\hat{ABC} = \hat{BAC}$

Câu 53 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.

Câu 54 : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T). Tính $\hat{BTP} + 2 \hat{TPB}$

Câu 55 : Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp $∆ MAT$ . Từ M vẽ tiếp tuyến xy của đường tròn (O’). Chứng minh rằng

Câu 56 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Trên đường thẳng AB lấy một điểm M (điểm M không thuộc đoạn thẳng AB). Vẽ tiếp tuyến MT của đường tròn (O) và cát tuyến MCD của đường tròn (O’), Chứng minh rằng ${MT}^{2}$ = MC.MD.

Câu 57 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây BC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’). Vẽ dây BD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng

Câu 58 : Cho $∆ ABC$ ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F là các tiếp điểm của đường tròn trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của đường tròn (O) với các tia OA, OB, OC. Chứng minh rằng các điểm M, N, P lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $∆ ADF$ , $∆ BDE$ , $∆ CEF$

Câu 59 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O’) tại D. Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng:

Câu 60 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn (AB < AC). Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC ở I. Kẻ $AH ⊥ BC$ . Chứng minh rằng

Câu 61 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn (AB < AC). Gọi E là điểm đối xứng với B qua A.

Câu 62 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ P. Tia PB cắt đường tròn (O’) tại Q, Chứng minh AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).

Câu 63 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm I có đường kính BH, nó cắt AB ở M. Vẽ đường tròn tâm K có đường kính CH, nó cắt AC ở N.

Câu 64 : Cho hình thang ABCD có AB // CD và AD = DC = CB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB. Tính số đo của góc $\hat{AIB}$ với I là giao điểm của AC và BD.

Câu 65 : Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính BOD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.

Câu 66 : Một đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB và AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh là tam giác cân.

Câu 67 : Cho đường tròn (O) và hai dây cung bằng nhau AB, AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M. Gọi I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng $\hat{AIC} = \hat{ACM}$

Câu 68 : Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho $sd \overset{⏜}{AC} = sd \overset{⏜}{CD} = sd \overset{⏜}{DB} = 60^{0}$ . Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:

Câu 69 : Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S. Chứng minh ES = EM.

Câu 70 : Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB đi qua tâm (A nằm giữa M và B). Giả sử số đo của cung nhỏ AT bằng $60^{0}$ . Tính số đo của góc $\hat{FMB}$

Câu 71 : Qua điểm a nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên trong đường tròn. Chứng minh $\hat{A} - \hat{BSM} = 2 \hat{CMN}$

Câu 72 : Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại N cắt đường thẳng AI tại I. Chứng minh rằng:

Câu 73 : Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = $R \sqrt{2}$ . Vẽ dây CN đi qua điểm M. Từ N vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Chứng minh rằng:

Câu 74 : Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác của góc BAC, dây này cắt CD tại E. Chứng minh rằng:

Câu 75 : Cho $∆ ABC$ cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác của hai góc $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau ở E và cắt đường tròn ở F và D. Chứng minh rằng tứ giác EDAF là một hình thoi.

Câu 76 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. P, Q, R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C.

Câu 77 : Cho $∆ ABC$ nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AB, BC, CA. Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt các đường thẳng BC và DF lần lượt tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng DF và AE.

Câu 78 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, cung CD = $80^{0}$ nằm cùng phía đối với AB (D thuộc cung BC). Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC. Tính $\hat{AEB}$ , $\hat{AFB}$

Câu 79 : Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M thuộc tia đối của tia BC. Gọi I là giao điểm của MA với đường tròn. Chứng minh rằng:

Câu 80 : Cho đường tròn (O), đường kính AB vuông góc với dây CD. Qua điểm M thuộc cung AD, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt CD ở I. Gọi E là giao điểm của BM và CD.

Câu 81 : Cho $∆ ABC$ vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích I khi A thay đổi.

Câu 82 : Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Câu 83 : Xét $∆ ABC$ có BC = 6 cm, cố định, $\hat{A} = 120^{0}$

Câu 84 : Cho nửa đường tròn đường kính AB và cung EF của nửa đường tròn (E nằm trên cung AF sao cho sd $\overset{⏜}{EF} = 60^{0}$ ). Hai tia AE và BF cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích các điểm M khi cung $\overset{⏜}{EF}$ chuyển động trên nửa đường tròn.

Câu 85 : Dựng cung chứa góc $60^{0}$ trên đoạn AB = 4 cm.

Câu 86 : Dựng $∆ ABC$ , biết BC = 6 cm, $\hat{A} = 40^{0}$ và đường cao AH = 4 cm.

Câu 87 : Dựng $∆ ABC$ biết BC = a, $\hat{A} = α (0^{0} < α < 180^{0})$ và đường cao BH = h với h < a

Câu 88 : Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC với $\hat{A} = 60^{0}$ , gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’. Chứng minh các điểm A, B, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Câu 89 : Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Chứng minh rằng bốn điiểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Câu 90 : Cho $∆ ABC$ cân tại A. Lấy hai điểm E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho AE = AF. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Câu 91 : Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi đó.

Câu 92 : Xét tam giác ABC có BC = 2 cm cố định và $\hat{A} = 60^{0}$

Câu 93 : Cho nửa đường tròn đường kính AB và cung EF của nửa đường tròn (E nằm trên cung $\overset{⏜}{AF}$ sao cho sđ $\overset{⏜}{EF} = 30^{0}$ . Hai tia AE và BF cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích điểm M khi cung $\overset{⏜}{EF}$ chuyển động trên nửa đường tròn.

Câu 94 : Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích điểm M khi E di động trên cạnh BC.

Câu 95 : Cho tam giác ABC vuông ở A. vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC ra phía ngoài của tam giác. Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường tròn đường kính AB, N thuộc nửa đường tròn đường kính AC)

Câu 96 : Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định và điểm C di chuyển trên nửa đường tròn. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác BCD vuông cân tại C. Tìm quỹ tích điểm D.

Câu 97 : Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 60^{0}$ , nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy một điểm D, trên dây BD lấy điểm M sao cho DM = CD.

Câu 98 : Cho cung một phần tư đường tròn với hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Trên cung này lấy một điểm C tùy ý không trùng với A và B. Vẽ CH vuông góc với OA. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác HOC.

Câu 99 : Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, $\hat{A} = 50^{0}$ , AB = 2cm.

Câu 100 : Dựng tam giác ABC biết:

Câu 101 : Dựng tam giác ABC biết:

Câu 102 : Dựng tam giác ABC biết

Câu 103 : Dựng tam giác vuông biết

Câu 104 : Chứng minh rằng hình chữ nhật ABCD nội tiếp được.

Câu 105 : Cho tam giác ABC đều. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và $\hat{DCB} = \frac{1}{2} \hat{ACB}$

Câu 106 : Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Câu 107 : Tứ giác ABCD có $\hat{ABC} + \hat{ADC} = 180^{0}$ . Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Câu 108 : Tìm điều kiện để hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp được

Câu 109 : Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết $\hat{DAB} = 180^{0}, \hat{DAM} = 30^{0},$ $\hat{BMC} = 30^{0}$ . Hãy tính số đo các góc $\hat{MAB}, \hat{BCM}, \hat{AMB}$ , $\hat{DMC}, \hat{AMD}, \hat{MCD}, \hat{BCD}$ .

Câu 110 : Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây CD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD, cắt AB tại I. các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:

Câu 111 : Cho $∆ ABC$ , các đường phân giác của các góc trong $\hat{B}, \hat{C}$ gặp nhau tại S, các đường phân giác của các góc ngoài $\hat{B}$ và $\hat{C}$ gặp nhau tại E. Chứng minh rằng:

Câu 112 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. vẽ một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D. Vẽ một đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) tại E và đường tròn (O’) tại F. hai đường thẳng CD và EF không cắt nhau ở bên trong hai đường tròn. Chứng minh rằng CE // DF.

Câu 113 : Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được, biết

Câu 114 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD lần lượt cắt đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại M. Hai tia AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng

Câu 115 : Cho tam giác ABC, các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC.

Câu 116 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt đường tròn (O’) tại C, tia O’A cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng

Câu 117 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ $EF ⊥ AD$ . Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng.

Câu 118 : Chứng minh rằng trong một đường tròn hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm mỗi dây.

Câu 119 : Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. trên đường tròn (O’) lấy một điểm M. các đường thẳng MA, MB cắt đường tròn (O) tại C và D. Từ M vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O’). Chứng minh rằng xy // CD.

Câu 120 : Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) và (O’) tại C và D. Vẽ dây CE của đường tròn (O) và dây DF của đường tròn (O’) song song với nhau. Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng.

Câu 121 : Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng

Câu 122 : Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD.

Câu 123 : Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ $CD ⊥ AB, CE ⊥ MA, CF ⊥ MB$ . Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng

Câu 124 : a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2 cm.

Câu 125 : a) Vẽ đều cạnh a = 3 cm.

Câu 126 : Một đường tròn có bán kính R

Câu 127 : Cho đường tròn (O; R), tính theo R:

Câu 128 : Cho lục giác đều ABCDEF tâm O

Câu 129 : Trên một đường tròn bán kính R lần lượtđặt theo cùng một chiều, kẻ từ một điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho sđ $\overset{⏜}{AB} = 60^{0}$ , sđ $\overset{⏜}{BC} = 90^{0}$ và sđ $\overset{⏜}{CD} = 120^{0}$

Câu 130 : Cho đường tròn (O; R). Cho một dây cung AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp và một dây cung BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (C và A nằm cùng phía đối với BO). Tính các cạnh của $∆ ABC$ và đường cao AH của nó theo R.

Câu 131 : Một đa giác đều nội tiếp đường tròn (O; R). Biết độ dài mỗi cạnh của nó là $R \sqrt{2}$ . Hỏi đa giác đó là hình gì?

Câu 132 : Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a. các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M và chúng cắt đường thẳng EF theo thứ tự tại N và P.

Câu 133 : Cho ngũ giác đều ABCDE. Hai đường chéo AC và AD cắt BE lần lượt tại M và N.

Câu 134 : Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O) có cạnh 3 cm.

Câu 135 : Cho $∆ ABC$ đều, nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi D, E, F theo thứ tự là điểm chính giữa cung AB, BC, CA. Chứng minh rằng ADBECF là lục giác đều.

Câu 136 : a) Tính độ dài cung $60^{0}$ của một đường tròn có bán kính 2 dm.

Câu 137 : Tính độ dài của đường tròn, biết:

Câu 138 : Cho (O; OM). Vẽ đường tròn (O’) đường kính OM. Một bán kính OA của (O) cắt (O’) ở B. Chứng minh rằng MA và MB có độ dài bằng nhau.

Câu 139 : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Giả sử AM = 1cm, CD = 2 $\sqrt{3}$ cm. Tính

Câu 140 : Cho đường tròn (O), dây AB = 9 cm có khoảng cách đến tâm bằng một nửa bán kính của đường tròn.

Câu 141 : Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C

Câu 142 : Một tam giác đều và một hình vuông cùng có chu vi là 72cm. Hỏi đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?

Câu 143 : Cho đoạn thẳng AD = 12 cm. Các điểm B, C cùng thuộc đoạn thẳng AD sao cho AB = CD. Vẽ các đường tròn có đường kính theo thứ tự là AD và BC. Biết chu vi đường tròn lớn bằng ba lần chu vi đường tròn nhỏ. Tính chu vi của đường tròn nhỏ.

Câu 144 : Cho hai đường tròn (O; R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại B, cắt đường tròn (O’) tại C. chứng minh rằng nếu R' = $\frac{1}{2}$ R thì độ dài của $\overset{⏜}{AC}$ bằng nửa độ dài của $\overset{⏜}{AB}$ (chỉ xét các cung AC, AB nhỏ hơn nửa đường tròn).

Câu 145 : Cho tam giác ABC vuông ở A, $\hat{C} = 30^{0}$ và AB = 4 cm. vẽ đường cao AH. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.

Câu 146 : Cho hình vuông ABCD có AC = 4cm. Ở phía ngoài hình vuông vẽ các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, BC, CD, DA. Bốn nửa đường tròn đó tạo thành hình hoa bốn cánh. Tính chu vi của hình hoa ấy.

Câu 147 : Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là 4 cm.

Câu 148 : Tính diện tích hình tròn, biết:

Câu 149 : Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu:

Câu 150 : Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 6 cm và góc ở tâm tương ứng là $36^{0}$

Câu 151 : Tính diện tích hình viên phấn AmB, biết $\hat{AOB} = 60^{0}$ và bán kính đường tròn bằng 8 cm.

Câu 152 : Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành.

Câu 153 : Hình vành khăn là phần hình tròn bao gồm giữa hai đường tròn đồng tâm. Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bởi đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh 6 cm.

Câu 154 : a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1 cm. Nêu cách vẽ.

Câu 155 : Một đường tròn có độ dài là 72 cm. Tính diện tích hình viên phân tạo thành bởi một cạnh của tam giác đều nội tiếp và cung nhỏ bị trương.

Câu 156 : Cho đường tròn (O; 2cm), một điểm M có MO = 2 $\sqrt{2}$ cm. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng MA, MB và cung nhỏ AB.

Câu 157 : Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ cung AB có tâm C bán kính CA. Tính diện tích hình trăng giới hạn bởi cung AB của đường tròn (C) và cung Ab không chứa C của đường tròn (O).

Câu 158 : Cho $∆ ABC$ đều nội tiếp đường tròn (O; 6cm). tính diện tích viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC.

Câu 159 : Cho $∆ ABC$ vuông tại A có AB = 10m, $\hat{B} = 60^{0}$ . Vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BC và đi qua điểm A. tính tổng diện tích hai hình viên phân ứng với cung AB và cung AC.

Câu 160 : a) Vẽ lại hình sgk (tạo bởi các cung tròn) với HI = 10 cm và HO = BI = 2 cm. Nêu cách vẽ.

Câu 161 : Tính diện tích của phần gạch sọc trên hình.

Câu 162 : Một hình vuông và một hình tròn có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn?

Câu 163 : Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Lấy $M \in (O)$ với AM < BM. Trên cạnh MB lấy điểm C sao cho MC = MA. Gọi OD là bán kính vuông góc với AB (M và D ở hai bên đường thẳng AB)

Câu 164 : Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của đường tròn (O) (D, E thuộc đường tròn (O); D nằm giữa A và E, tia AD nằm giữa hai tia AB, AO).

Câu 165 : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E. Hai tiếp tuyến EM và Bx của (O) cắt nhau tại D (M thuộc (O))

Câu 166 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi đường tròn (I; r) đường tròn nội tiếp tam giác ABC, H là tiếp điểm của AB với đường tròn (I), D là giao điểm của AI với đường tròn (O), DK là đường kính của đường tròn (O). Gọi d là độ dài của OI. Chứng minh rằng:

Câu 167 : Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn đó (Ax nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn). Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đường tròn tại D. kéo dài AD và BC cắt nhau tại E. kẻ EH vuông góc với Ax tại H.

Câu 168 : Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. H là điểm cố định thuộc đoạn OA (H không trùng O và A). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O tại C và D. Gọi K là điểm tùy ý thuộc cung lớn CD (K không trùng các điểm C, D và B). Gọi I là giao điểm của AK và CD.

Câu 169 : Cho đường tròn (O) bán kính R và mọt dây cung BC cố định. Gọi A là điểm chính giữa cung nhỏ $\overset{⏜}{BC}$ . Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ $\overset{⏜}{AC}$ , kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D.

Câu 170 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên OC, AH cắt BC tại M.

Câu 171 : Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhòn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

Câu 172 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC = 2R. Gọi K và M lần lượt là chân đường cao hại từ A và C xuống BD, E là giao điểm của AC và BD, biết K thuộc đoạn BE ( $K \neq B, K \neq E$ ). Đường thẳng qua K song song với BC cắt AC tại P.

Câu 173 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (C) tâm o bán kính R. Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC cắt nhau tại H (với E thuộc BC, K thuộc AC)

Câu 174 : Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm; M và B nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng MN và AK. Chứng minh rằng:

Câu 175 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). Lấy điểm C trên cung nhỏ AB (C không trùng với A, B). Từ điểm C kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB ( $D \in AB, E \in MA, F \in MB$ ). Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng

Câu 176 : Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ $\overset{⏜}{AB}$ và cung nhỏ $\overset{⏜}{BC}$ . Hai dây AN và CM cắt nhau tại I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

Câu 177 : Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là các tiếp điểm).

Câu 178 : Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Dựng AH vuông góc với BD tại điểm H; K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.

Câu 179 : Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm (O), M là một điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. Gọi D, E, F làn lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

Câu 180 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), dựng AH vuông góc với BC tại điểm H. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vông góc của điểm H trên AB và AC. Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại điểm D. Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, vẽ nửa dường tròn đường kính CD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt nửa đường tròn trên tại E.

Câu 181 : Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc AB ( $H \in AB$ ) ,MH cắt đường tròn tại N. Biết MA = 10 cm, AB = 12 cm.

Câu 182 : Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Gọi (O) là một đường tròn thay đổi luôn đi qua B và C (tâm O không thuộc đường thẳng BC). Từ A kẻ các tiếp tuyến AD, AE đến đường tròn (O) (D, E là các tiếp điểm và D, O nằm cùng trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC). Gọi K, H lần lượt là trung điểm của BC và DE.

Lời giải có ở chi tiết câu hỏi nhé! (click chuột vào câu hỏi).

Lớp 9

Toán học

Toán học - Lớp 9

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi hoctapsgk.com Nghe truyện audio Đọc truyện chữ Công thức nấu ăn

Bài tập ôn tập chương 3 hình học 9 có đáp án !!

Câu 1 : Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào thời điểm sau:

Câu 2 : Cho đường tròn (O, R), dây AB = R. Tính số đo hai cung AB⏜

Câu 3 : Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Biết AMB^=35o

Câu 4 : Cho đường tròn (O), góc ở tâm AOB^=120o, góc ở tâm AOC^=30o. Tính số đo cung BC⏜

Câu 5 : Cho ∆ABC có A^=α, B^=β. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác AB, AC, BC theo thứ tự ở D, E, F.

Câu 6 : Chứng minh rằng nếu một tiếp tuyến song song với một dây thì tiếp điểm chia đôi cung căng dây.

Câu 7 : Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 900. Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh rằng

Câu 8 : Cho đường tròn tâm (O;R), dây AB = R2. Tính số đo hai cung AB⏜

Câu 9 : Cho ∆ABC có A^=700. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự ở D, E. Tính số đo cung nhỏ DE⏜

Câu 10 : Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AM và AN, chúng tạo với nhau một góc α.

Câu 11 : Cho đường tròn (O) và dây AB. Lấy hai điểm M và N nằm trên cung nhỏ AB chia cung này thành ba cung bằng nhau AM⏜=MN⏜=NB⏜. Các bán kính OM và ON cắt AB tại C và D. Chứng minh rằng AC = BD và AC > CD.

Câu 12 : Cho đường tròn (O) và một dây AB sao cho số đo của cung lớn AB gấp đôi cung nhỏ AB. Tính diện tích ∆OAB.

Câu 13 : Cho hai đường tròn đồng tâm (O;R) và O;R32. Tiếp tuyến của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tính số đo của hai cung AB⏜

Câu 14 : Cho ∆ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng

Câu 15 : a) Vẽ đường tròn tâm (O), bán kính R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung AB⏜ có số đo bằng 600. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xen – ti – mét?

Câu 16 : Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây MC cắt dây AB tại D. Vẽ đường vuông góc với AB tại D, cắt OC ở K. Chứng minh rằng là tam giác cân.

Câu 17 : Chứng minh rằng hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Câu 18 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH của tam giác cắt đường tròn ở D. Vẽ đường kính AE.

Câu 19 : Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’). Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’)

Câu 20 : Tứ giác ABCD có B⏜=D⏜=900. Biết AB < AD, chứng minh rằng BC > CD.

Câu 21 : Hai đường tròn (O) và (O’) cùng bán kính cắt nhau tại M và N.

Câu 22 : Cho ∆ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp ∆DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc với OH, OK với BC và BD (H∈BC, K∈BD)

Câu 23 : Trên dây cung AB⏜ của đường tròn (O) lấy hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng AE⏜=BF⏜<EF⏜

Câu 24 : a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

Câu 25 : Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng ê ke thì phải làm như thế nào?

Câu 26 : Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4 cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm.

Câu 27 : Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, BA theo thứ tự tại D, E, F. Cho biết BAC^=EDF^. Tính số đo của góc BAC^.

Câu 28 : Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Câu 29 : Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Gọi K là giao điểm của EB với đường tròn (O) và H là giao điểm của BD và AK.

Câu 30 : Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: MA2=MB.MC

Câu 31 : Cho ∆ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB, AC tại D, E. Gọi I là giao điểm của BS và CD.

Câu 32 : Cho AB, BC, CA là ba dãy của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh rằng SM = SC và SN = SA.

Câu 33 : Cho đường tròn (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D.

Câu 34 : Cho một đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến.

Câu 35 : Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB và C là một điểm bên ngoài đường tròn. Nối CA, CB gặp đường tròn theo thứ tự ở M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN.

Câu 36 : Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và (O’) tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì: Tại sao?

Câu 37 : Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ đường kính AOC và AO’D

Câu 38 : Cho tam giác ABC. Hai đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại một điểm thứ hai là D.

Câu 39 : Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau cắt nhau tại M (điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm B nằm trên cung nhỏ CD)

Câu 40 : Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi O là điểm chính giữa của nửa đường tròn và M là một điểm bất kì của nửa đường tròn đó. Tia AM cắt đường tròn (O; OA) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng MN = MB.

Câu 41 : Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I và K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI

Câu 43 : Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Kẻ đường kính AE.

Câu 44 : Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt đường tròn tại M.

Câu 45 : Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm trên cung BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho MD = MB.

Câu 46 : Cho nửa đường tròn đường kính AB, K là điểm chính giữa cung AB. Vẽ bán kính OC sao cho BOC^=600

Câu 47 : Từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó. Chứng minh rằng MT2 = MA.MB

Câu 48 : Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Tia Mx quay quanh M và cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Gọi I là một điểm thuộc tia Mx sao cho MI2 = MA.MB. Tìm quỹ tích điểm I.

Câu 49 : Cho A, B, C là ba điểm cùng nằm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh rằng AB.AM = AC.AN.

Câu 50 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ hai tiếp tuyến với hai đường tròn. Hai tiếp tuyến này gặp đường tròn O ở C và đường tròn (O’) ở D. Chứng minh rằng ABC^=ABD^

Câu 51 : Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh rằng APO^=PBT^

Câu 52 : Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở A. Tính số đo các góc ABC^=BAC^

Câu 53 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.

Câu 54 : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T). Tính BTP^+2TPB^

Câu 55 : Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp ∆MAT. Từ M vẽ tiếp tuyến xy của đường tròn (O’). Chứng minh rằng

Câu 57 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây BC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’). Vẽ dây BD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng

Câu 59 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O’) tại D. Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng:

Câu 60 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn (AB < AC). Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC ở I. Kẻ AH⊥BC. Chứng minh rằng

Câu 61 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn (AB < AC). Gọi E là điểm đối xứng với B qua A.

Câu 63 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm I có đường kính BH, nó cắt AB ở M. Vẽ đường tròn tâm K có đường kính CH, nó cắt AC ở N.

Câu 64 : Cho hình thang ABCD có AB // CD và AD = DC = CB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB. Tính số đo của góc AIB^ với I là giao điểm của AC và BD.

Câu 65 : Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính BOD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.

Câu 66 : Một đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB và AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh là tam giác cân.

Câu 67 : Cho đường tròn (O) và hai dây cung bằng nhau AB, AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M. Gọi I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng AIC^=ACM^

Câu 68 : Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho sdAC⏜=sdCD⏜=sdDB⏜=600. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:

Câu 69 : Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S. Chứng minh ES = EM.

Câu 70 : Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB đi qua tâm (A nằm giữa M và B). Giả sử số đo của cung nhỏ AT bằng 600. Tính số đo của góc FMB^

Câu 71 : Qua điểm a nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên trong đường tròn. Chứng minh A^-BSM^=2CMN^

Câu 73 : Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = R2. Vẽ dây CN đi qua điểm M. Từ N vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Chứng minh rằng:

Câu 74 : Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác của góc BAC, dây này cắt CD tại E. Chứng minh rằng:

Câu 75 : Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác của hai góc B^ và C^ cắt nhau ở E và cắt đường tròn ở F và D. Chứng minh rằng tứ giác EDAF là một hình thoi.

Câu 76 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. P, Q, R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C.

Câu 78 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, cung CD = 800 nằm cùng phía đối với AB (D thuộc cung BC). Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC. Tính AEB^, AFB^

Câu 79 : Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M thuộc tia đối của tia BC. Gọi I là giao điểm của MA với đường tròn. Chứng minh rằng:

Câu 80 : Cho đường tròn (O), đường kính AB vuông góc với dây CD. Qua điểm M thuộc cung AD, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt CD ở I. Gọi E là giao điểm của BM và CD.

Câu 81 : Cho ∆ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích I khi A thay đổi.

Câu 82 : Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Câu 83 : Xét ∆ABC có BC = 6 cm, cố định, A^=1200

Câu 84 : Cho nửa đường tròn đường kính AB và cung EF của nửa đường tròn (E nằm trên cung AF sao cho sd EF⏜=600). Hai tia AE và BF cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích các điểm M khi cung EF⏜ chuyển động trên nửa đường tròn.

Câu 85 : Dựng cung chứa góc 600 trên đoạn AB = 4 cm.

Câu 2 : Cho đường tròn (O, R), dây AB = R. Tính số đo hai cung $\overset{⏜}{AB}$

Câu 3 : Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Biết $\hat{AMB} = 35^{o}$

Câu 4 : Cho đường tròn (O), góc ở tâm $\hat{AOB} = 120^{o}$ , góc ở tâm $\hat{AOC} = 30^{o}$ . Tính số đo cung $\overset{⏜}{BC}$

Câu 5 : Cho $∆ ABC$ có $\hat{A} = α, \hat{B} = β$ . Đường tròn (O) nội tiếp tam giác AB, AC, BC theo thứ tự ở D, E, F.

Câu 7 : Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn $90^{0}$ . Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh rằng

Câu 8 : Cho đường tròn tâm (O;R), dây AB = R $\sqrt{2}$ . Tính số đo hai cung $\overset{⏜}{AB}$

Câu 9 : Cho $∆$ ABC có $\hat{A} = 70^{0}$ . Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự ở D, E. Tính số đo cung nhỏ $\overset{⏜}{DE}$

Câu 10 : Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AM và AN, chúng tạo với nhau một góc $α$ .

Câu 11 : Cho đường tròn (O) và dây AB. Lấy hai điểm M và N nằm trên cung nhỏ AB chia cung này thành ba cung bằng nhau $\overset{⏜}{AM} = \overset{⏜}{MN} = \overset{⏜}{NB}$ . Các bán kính OM và ON cắt AB tại C và D. Chứng minh rằng AC = BD và AC > CD.

Câu 12 : Cho đường tròn (O) và một dây AB sao cho số đo của cung lớn AB gấp đôi cung nhỏ AB. Tính diện tích $∆ OAB$ .

Câu 13 : Cho hai đường tròn đồng tâm (O;R) và $(O; \frac{R \sqrt{3}}{2})$ . Tiếp tuyến của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tính số đo của hai cung $\overset{⏜}{AB}$

Câu 14 : Cho $∆$ ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng

Câu 15 : a) Vẽ đường tròn tâm (O), bán kính R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung $\overset{⏜}{AB}$ có số đo bằng $60^{0}$ . Hỏi dây AB dài bao nhiêu xen – ti – mét?

Câu 20 : Tứ giác ABCD có $\overset{⏜}{B} = \overset{⏜}{D} = 90^{0}$ . Biết AB < AD, chứng minh rằng BC > CD.

Câu 22 : Cho $∆ ABC$ . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp $∆ DBC$ . Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc với OH, OK với BC và BD ( $H \in BC, K \in BD$ )

Câu 23 : Trên dây cung $\overset{⏜}{AB}$ của đường tròn (O) lấy hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng $\overset{⏜}{AE} = \overset{⏜}{BF} < \overset{⏜}{EF}$

Câu 27 : Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, BA theo thứ tự tại D, E, F. Cho biết $\hat{BAC} = \hat{EDF}$ . Tính số đo của góc $\hat{BAC}$ .

Câu 30 : Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: ${MA}^{2} = MB . MC$

Câu 31 : Cho $∆ ABC$ có ba góc nhọn. Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB, AC tại D, E. Gọi I là giao điểm của BS và CD.

Câu 43 : Cho $∆ ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Kẻ đường kính AE.

Câu 44 : Cho $∆ ABC$ nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt đường tròn tại M.

Câu 45 : Cho $∆ ABC$ nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm trên cung BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho MD = MB.

Câu 46 : Cho nửa đường tròn đường kính AB, K là điểm chính giữa cung AB. Vẽ bán kính OC sao cho $\hat{BOC} = 60^{0}$

Câu 47 : Từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó. Chứng minh rằng ${MT}^{2}$ = MA.MB

Câu 48 : Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Tia Mx quay quanh M và cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Gọi I là một điểm thuộc tia Mx sao cho ${MI}^{2}$ = MA.MB. Tìm quỹ tích điểm I.

Câu 50 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ hai tiếp tuyến với hai đường tròn. Hai tiếp tuyến này gặp đường tròn O ở C và đường tròn (O’) ở D. Chứng minh rằng $\hat{ABC} = \hat{ABD}$

Câu 51 : Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh rằng $\hat{APO} = \hat{PBT}$

Câu 52 : Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở A. Tính số đo các góc $\hat{ABC} = \hat{BAC}$

Câu 54 : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T). Tính $\hat{BTP} + 2 \hat{TPB}$

Câu 55 : Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp $∆ MAT$ . Từ M vẽ tiếp tuyến xy của đường tròn (O’). Chứng minh rằng

Câu 60 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn (AB < AC). Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC ở I. Kẻ $AH ⊥ BC$ . Chứng minh rằng

Câu 64 : Cho hình thang ABCD có AB // CD và AD = DC = CB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB. Tính số đo của góc $\hat{AIB}$ với I là giao điểm của AC và BD.

Câu 67 : Cho đường tròn (O) và hai dây cung bằng nhau AB, AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M. Gọi I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng $\hat{AIC} = \hat{ACM}$

Câu 70 : Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB đi qua tâm (A nằm giữa M và B). Giả sử số đo của cung nhỏ AT bằng $60^{0}$ . Tính số đo của góc $\hat{FMB}$

Câu 71 : Qua điểm a nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên trong đường tròn. Chứng minh $\hat{A} - \hat{BSM} = 2 \hat{CMN}$

Câu 73 : Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = $R \sqrt{2}$ . Vẽ dây CN đi qua điểm M. Từ N vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Chứng minh rằng:

Câu 75 : Cho $∆ ABC$ cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác của hai góc $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau ở E và cắt đường tròn ở F và D. Chứng minh rằng tứ giác EDAF là một hình thoi.

Câu 78 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, cung CD = $80^{0}$ nằm cùng phía đối với AB (D thuộc cung BC). Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC. Tính $\hat{AEB}$ , $\hat{AFB}$

Câu 81 : Cho $∆ ABC$ vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích I khi A thay đổi.

Câu 83 : Xét $∆ ABC$ có BC = 6 cm, cố định, $\hat{A} = 120^{0}$

Câu 85 : Dựng cung chứa góc $60^{0}$ trên đoạn AB = 4 cm.

Câu 86 : Dựng $∆ ABC$ , biết BC = 6 cm, $\hat{A} = 40^{0}$ và đường cao AH = 4 cm.

Câu 87 : Dựng $∆ ABC$ biết BC = a, $\hat{A} = α (0^{0} < α < 180^{0})$ và đường cao BH = h với h < a

Câu 88 : Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC với $\hat{A} = 60^{0}$ , gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’. Chứng minh các điểm A, B, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Câu 90 : Cho $∆ ABC$ cân tại A. Lấy hai điểm E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho AE = AF. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Câu 92 : Xét tam giác ABC có BC = 2 cm cố định và $\hat{A} = 60^{0}$

Câu 97 : Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 60^{0}$ , nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy một điểm D, trên dây BD lấy điểm M sao cho DM = CD.

Câu 99 : Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, $\hat{A} = 50^{0}$ , AB = 2cm.

Câu 105 : Cho tam giác ABC đều. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và $\hat{DCB} = \frac{1}{2} \hat{ACB}$

Câu 107 : Tứ giác ABCD có $\hat{ABC} + \hat{ADC} = 180^{0}$ . Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Câu 109 : Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết $\hat{DAB} = 180^{0}, \hat{DAM} = 30^{0},$ $\hat{BMC} = 30^{0}$ . Hãy tính số đo các góc $\hat{MAB}, \hat{BCM}, \hat{AMB}$ , $\hat{DMC}, \hat{AMD}, \hat{MCD}, \hat{BCD}$ .

Câu 111 : Cho $∆ ABC$ , các đường phân giác của các góc trong $\hat{B}, \hat{C}$ gặp nhau tại S, các đường phân giác của các góc ngoài $\hat{B}$ và $\hat{C}$ gặp nhau tại E. Chứng minh rằng:

Câu 117 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ $EF ⊥ AD$ . Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng.

Câu 123 : Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ $CD ⊥ AB, CE ⊥ MA, CF ⊥ MB$ . Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng