Cho nửa đường tròn đường kính AB và cung EF của nửa đường tròn (E nằm trên

* Hướng dẫn giải

Phần thuận: giả sử có điểm M sao cho $\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}={60}^0$, ta có:

$\widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}-\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}}{2}=\frac{{180}^0-{60}^0}{2}={60}^0$

Vậy điểm M nằm trên cung chứa góc ${60}^0$ dựng trên đoạn thẳng AB (cung này thuộc mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn cho trước)

Giới hạn: ta có:

- Nếu $\mathrm{E}\equiv \mathrm{A}$ => $\mathrm{M}\equiv {\mathrm{M}}_0$, với ${\mathrm{M}}_0$ là giao điểm của cung chứa góc với tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn đường kính AB.

- Nếu $\mathrm{F}\equiv \mathrm{B}$ => $\mathrm{M}\equiv {\mathrm{M}}_1$, với ${\mathrm{M}}_1$ là giao điểm của cung chứa góc với tiếp tuyến By của nửa đường tròn dường kính Ab. Do đó, điểm M chỉ nằm trên cung $\stackrel{⏜}{{\mathrm{M}}_0{\mathrm{M}}_1}$

Phần đảo: lấy điểm M nằm trên cung $\stackrel{⏜}{{\mathrm{M}}_0{\mathrm{M}}_1}$. Nối MA, MB cắt nửa đường tròn đường kính AB lần lượt tại E và F. Ta phải chứng minh số đo $\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}={60}^0$

Thật vậy:

$\widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}-\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}}{2}$

$\Rightarrow \mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}=\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}-2\widehat{\mathrm{AMB}}$

$={180}^0-2.{60}^0={60}^0$

Kết luận: quỹ tích các điểm M là cung $\stackrel{⏜}{{\mathrm{M}}_0{\mathrm{M}}_1}$ của cung chứa góc ${60}^0$ dựng trên đoạn thẳng AB (cung này thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn đã cho)