Cho nửa đường tròn đường kính AB và cung EF của nửa đường tròn (E nằm trên cung AF

* Hướng dẫn giải

- Phần thuận:

Giả sử có điểm M sao cho sđ $\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}={30}^0$, khi đó

$\widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}-\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}}{2}=\frac{{180}^0-{30}^0}{2}={75}^0$

Vậy điểm M nằm trên cung chứa góc ${75}^0$ dựng trên đoạn AB (cung này thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn cho trước)

- Giới hạn:

Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến Ax, By (của nửa đườn tròn đường kính AB với cung chứa góc chứa điểm M)

+ nếu $\mathrm{E}\equiv \mathrm{F}\Rightarrow \mathrm{M}\equiv \mathrm{P}$

+ nếu $\mathrm{F}\equiv \mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{M}\equiv \mathrm{Q}$

Vậy điểm M chỉ nằm trên cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{PQ}}$

- Phần đảo:

Lấy điểm M trên cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{PQ}}$. Nối MA, MB cắt nửa đường tròn đường kính AB lần lượt tại E và F.

Ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}-\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}}{2} \\ \Rightarrow \mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}=\mathrm{sd}\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}-2\widehat{\mathrm{AMB}}={30}^0 \end{gathered}$$

Kết luận: quỹ tích điểm M chỉ nằm trên cung  (cung này thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn cho trước)