Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F

* Hướng dẫn giải

- Phần thuận:

Xét hai tam giác vuông $∆\mathrm{BFC}, ∆\mathrm{DCE}$ có

BC = CD (do ABCD là hình vuông)

CE = CF (gt) nên $∆\mathrm{BFC}=∆\mathrm{DCE}$

Do đó, $\widehat{\mathrm{CBF}}=\widehat{\mathrm{CDE}}$

Mà $\widehat{\mathrm{BEM}}=\widehat{\mathrm{CED}}$ (đối đỉnh) nên

$$\begin{gathered} {90}^0=\widehat{\mathrm{CDE}}+\widehat{\mathrm{CED}}=\widehat{\mathrm{CBF}}+\widehat{\mathrm{BEM}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{BMD}}={90}^0 \end{gathered}$$

Vậy điểm M nằm trên đường tròn đường kính BD.

- Giới hạn:

+ Nếu $\mathrm{E}\equiv \mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{M}\equiv \mathrm{B}$

+ Nếu $\mathrm{E}\equiv \mathrm{C}\Rightarrow \mathrm{M}\equiv \mathrm{C}$

Vậy điểm M chỉ nằm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$ của đường tròn đường kính BD.

- Phần đảo:

Lấy điểm M trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$ của đường tròn đường kính BD. Nối MB, MD lần lượt cắt CD, BC tại F, E

Ta có $\widehat{\mathrm{BMD}}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $∆\mathrm{BFC}=∆\mathrm{DCE} \left(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g}\right)$ do đó CF = CE.

- Kết luận: quỹ tích điểm M nằm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$ của đường tròn đường kính BD.