Cho cung một phần tư đường tròn với hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau

* Hướng dẫn giải

a) Xét hai tam giác AIO và CIO có:

OA = OC

OI chung

$\widehat{\mathrm{AIO}}=\widehat{\mathrm{CIO}}$

Nên $∆\mathrm{AIO}=∆\mathrm{CIO} \left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

b) Tìm quỹ tích điểm I khi C di động trên cung AB.

- Phần thuận:

Ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{AIO}}=\widehat{\mathrm{CIO}}={180}^0-\left(\widehat{\mathrm{IOC}}+\widehat{\mathrm{ICO}}\right) \\ ={180}^0-\frac{1}{2}\left(\widehat{\mathrm{HOC}}+\widehat{\mathrm{HCO}}\right) \\ ={180}^0-{45}^0={135}^0 \end{gathered}$$

Vì A, O cố định nên quỹ tích điểm I nằm trên cung ${135}^0$ dựng trên đoạn AO.

- Giới hạn:

Vì C chỉ chạy trên cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$ nên điểm I chỉ chạy trên cung chứa góc ${135}^0$ dựng trên đoạn AO thuộc nửa mặt phẳng bờ AO có chứa điểm B.

- Phần đảo:

Lấy điểm I trên cung chứa góc ${135}^0$ dựng trên đoạn AO. Dựng OC sao cho OI là tia phân giác góc $\widehat{\mathrm{AOC}}$ (C nằm trên cung), từ C hạ  $\mathrm{CH}\perp \mathrm{OA}$

Vì $\widehat{\mathrm{AIO}}=\widehat{\mathrm{CIO}}={135}^0$ nên $\widehat{\mathrm{CIA}}={360}^0-2.{135}^0={90}^0$, do vậy C, I, H, A cùng nằm trên cùng một đường tròn.

Từ đó suy ra $\widehat{\mathrm{ICH}}=\widehat{\mathrm{IAH}}=\widehat{\mathrm{ICO}}$ => IC là tia phân giác góc $\widehat{\mathrm{OCH}}$, vì vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác COH.

- Kết luận: quỹ tích điểm I là cung chứa góc ${135}^0$ dựng trên đoạn AO thuộc nửa mặt phẳng bờ AO có chứa điểm B.