Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi

* Hướng dẫn giải

Ta có:

${\left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)}^2\le {\left(1.\sqrt{p-a}+1.\sqrt{p-b}+1.\sqrt{p-c}\right)}^2$

Suy ra

$\begin{array}{l}{\left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)}^2\le \left(1^2+1^2+1^2\right)\left(p-a+p-b+p-c\right)\\ \iff {\left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)}^2\le 3p\\ \iff \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le \sqrt{3p}\end{array}$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{\sqrt{p-a}}{1}=\frac{\sqrt{p-b}}{1}=\frac{\sqrt{p-c}}{1}$ hay a=b=c

Ta tiếp tục chứng minh $\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}$

Ta có

$\begin{array}{l}\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\\ \iff p<p-a+p-b+p-c+2\sqrt{(p-a)(p-b)}+2\sqrt{(p-b)(p-c)}+2\sqrt{\left(p-c\right)(p-a)}\end{array}$

$\iff 2\sqrt{(p-a)(p-b)}+2\sqrt{(p-b)(p-c)}+2\sqrt{\left(p-c\right)(p-a)}>0$ (luôn đúng)

Vậy $\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le \sqrt{3p}$