Cho biểu thức: A = ( căn bậc hai của 1-x + 3/căn bậc hai của 1+x)

* Hướng dẫn giải

1. Điều kiện để A có nghĩa:

$\left\{\begin{array}{l}1-x\ge 0\\ 1+x>0\\ 1-x^2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 1\\ x>-1\\ -1<x<1\end{array}\right.\iff -1<x<1(*)$

Vậy điều kiện tồn tại của A là $-1<x<1$

2. Biến đổi biểu thức về dạng:

$\begin{array}{l}A=\left(\sqrt{1-x}+\frac{3}{\sqrt{1+x}}\right):\left(1+\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)\\ =\frac{\sqrt{(1-x)(1+x)}+3}{\sqrt{1+x}}:\frac{\sqrt{1-x^2}+3}{\sqrt{1-x^2}}\\ =\frac{\sqrt{1-x^2}+3}{\sqrt{1-x}}.\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}+3}\\ =\sqrt{1-x}\end{array}$

3. Trước tiên, ta viết lại x dưới dạng:

$x=\frac{\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{2\sqrt{3}-3}{4-3}=2\sqrt{3}-3$

Khi đó, ta suy ra: $A=\sqrt{1-\left(2\sqrt{3}-3\right)}=\sqrt{1-2\sqrt{3}+3}=\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|1-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-1$

4. Để $\sqrt{A}>A$, điều kiện là: $A<1\iff \sqrt{1-x}<1\iff 1-x<1\iff x>0$

Vậy với $0<x<1$ thì $\sqrt{A}>A$