Cho biểu thức Sn = căn bậc hai của 1+1/2^2 + 1/3^2 + căn bậc hai của 1

* Hướng dẫn giải

1. Tính $S_{2016}$

Sử dụng (2) bằng cách thay a, b, c bởi ba bộ số 1, (n – 1), - n, ta sẽ nhận được:

$\sqrt{1+\frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}+\frac{1}{n^2}}=\left|1+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right|=1+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l}{S}_n=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\mathrm{...}+\left(1+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right)\\ =1+1+\mathrm{...}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\\ =(n-2).1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\\ =n-\frac{1}{n}-\frac{3}{2}\end{array}$

Suy ra $S_{2016}=2016-\frac{1}{2016}-\frac{3}{2}=\frac{2010513}{1003}$

2. Chứng minh rằng với mọi $n\ge 3$ thì ” $S_n$ là số hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên

Dễ thấy ngay được khẳng định “ $S_n$ là ố hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên”