Với |a|>2 hãy rút gọn biểu thức P = căn bậc ba của a^3 -3a +(a^2 -1)

* Hướng dẫn giải

Đặt $\left\{\begin{array}{l}{M}_1=\sqrt[3]{\frac{a^3-3a+(a^2-1)\sqrt{a^2-4}}{2}}\\ M_2=\sqrt[3]{\frac{a^3-3a-(a^2-1)\sqrt{a^2-4}}{2}}\end{array}\right.\Rightarrow M_1{M}_2=1$

Khi đó

$\begin{array}{l}P=M_1+M_2\\ \iff P^3={\left(M_1+M_2\right)}^3={M_1}^3+{M_2}^3+3M_1{M}_2\left(M_1+M_2\right)=a^3-3a+3P\\ \iff P^3-3P-a^3+3a=0\\ \iff (P-a)(P^2+aP+a^2-3)=0(*)\end{array}$

Với giả thiết $\left|a\right|>2$, ta có:

$P^2+aP+a^2-3={\left(P+\frac{a}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\left(a^2-4\right)>0$

Do đó, phương trình (*) tương đương với $P-a=0\iff P=a$

Vậy ta được $P=a$