Chứng minh rằng số sau là số vô tỷ a = căn bậc ba của 4

* Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}a=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\\ \iff a^3={\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)}^3\\ \iff a^3={\left(\sqrt[3]{4}\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3-3\sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)\\ \iff a^3=6+6a\\ \iff a^3-6a-6=0(*)\end{array}$

Số a là số vô tỷ vì giả sử trái lại a là số hữu tỷ thì a phải là số nguyên bởi nó là nghiệm của một đa thức với hệ số nguyên và hệ số bậc cao nhất bằng 1

Mặt khác ta thấy ngay

$\begin{array}{l}2<\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}<4\\ \iff 2<a<4\\ \Rightarrow a=3\end{array}$

Tuy nhiên, a=3 không phải là một nghiệm của phương trình (*).