Bài 82 trang 33 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh:

a) \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\)  với mọi số thực \(x\) và \(y\);

b) \(x - {x^2} - 1 < 0\)  với mọi số thực \(x\).

Hướng dẫn giải

a) \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\)  với mọi số thực \(x\) và \(y\)

Ta có:

\({x^2} - 2xy + {y^2} + 1\)

\(= \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + 1\)

\(={\left( {x - y} \right)^2} + 1 > 0\) do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x, y\).

Vậy \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\)  với mọi số thực \(x\) và \(y\).

b) \(x - {x^2} - 1 < 0\)  với mọi số thực \(x\).

Ta có:x^2} - 1 \)

\(=  - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

\( = - \left[ {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}} \right]\)

\(=  - \left[ {{x^2} - 2x.{1 \over 2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}} \right] - {3 \over 4}\)

\( = - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {3 \over 4} < 0\)  với mọi \(x\), 

do \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên \(-{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)

Vậy \(x - {x^2} - 1 < 0\)  với mọi số thực \(x\).