Giải bài 42 trang 128 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 1

Đề bài

    Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng: 

   a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

   b) ME.MO = MF.MO'

   c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC

   d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'

Hướng dẫn giải

  Giải: 

      a)  MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau \( \Rightarrow ME \perp AB \Rightarrow \widehat{MEA}= 90^0\)

 MA, MC à hai tiếp tuyến cắt nhau \( \Rightarrow MF \perp AC \Rightarrow \widehat{MFA}= 90^0\)

   Mặt khác MO và MO' theo thứ tự là tia phân giác của các góc \( \widehat{AMB} \ và \ \widehat{AMC}\) ( tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) 

 \( \Rightarrow MO \perp MO' \) ( hai tia phân giác của hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat{EMF}=90^0\)

 Vậy tứ giác AEMF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông. 

    b) Xét \(\Delta AOM \) vuông tại A có \(AE \perp OM \ có \ ME.MO= AM^2\)

   Tương tự ta có: MF. MO' =\(AM^2\)

 Suy ra: \(ME.MO= MF.MO'\)

    c) Ta có MA= MB= MC  suy ra đường tròn đường kính BC đi qua A. 

Mặt khác \(OO'\perp MA\) ( tính chất tiếp tuyến) \( \Rightarrow OO'\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. 

    d) Gọi \(I\) là trung điểm OO' \(\Rightarrow I \) là tâm đường tròn đường kính OO'. 

  Ta có \(\Delta MOO'\) vuông tại M nên đường tròn đường kính OO' đi qua M.

  Ta có \(OB \perp BC \ và \ O'C \perp BC \) ( tính chất tiếp tuyến) 

    \( \Rightarrow OB \)  // O'C

  \(\Rightarrow\) Tứ giác BCO'O là hình thang

 \(\Rightarrow\) IM// OB ( IM là đường trung bình của hình thang) 

\(\Rightarrow\) \(IM \perp BC\)

 Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO'.