Bài 34 trang 56 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

 Giải các phương trình trùng phương:

a) \({x^4}-{\rm{ }}5{x^2} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);    

b) \(2{x^4}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);     

c) \(3{x^4} + {\rm{ }}10{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\)

Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\) khi đó phương trình đã cho trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\) giải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó đối chiếu với điều kiện \(t \ge 0\) rồi tìm x

Lời giải chi tiết

a) \({x^4}-{\rm{ }}5{x^2} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Đặt \({x^2} = {\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\), ta có: \({t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0; a + b + c = 1 + (-5) + 4 = 0 , \)

\({\rm{ }}{t_1} = {\rm{ }}1,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }}4\) (thỏa mãn)

Với t = 1 ta có: \({x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Với t = 4 ta có: \({x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

b)\(2{x^4}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

Đặt \({x^2} = {\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\), ta có: \(2{t^2}{\rm{  - }}3t{\rm{  - }}2 = 0\) (2)

\(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 25 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 5\)

Khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là: \({t_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - 5}}{{2.2}} = \frac{{ - 1}}{2}\) (loại); \({t_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + 5}}{{2.2}} = 2\left( {tm} \right)\) 

Với \(t = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(x =  \pm \sqrt 2 \)

c) \(3{x^4} + {\rm{ }}10{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Đặt \({x^2} = {\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\), ta có:\(3{t^2} + 10t + 3 = 0\) (3)

\(\Delta ' = {5^2} - 3.3 = 16 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 4\)

Khi đó phương trình (3) sẽ có 2 nghiệm phân biệt là:

\(t{ _1} = \frac{{ - 5 - 4}}{3} =  - 3\) (loại)

\(t{_1} = \frac{{ - 5 - 4}}{3} =  - \frac{1}{3}\) (loại)

Phương trình vô nghiệm.