Bài 39 trang 57 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

a) \((3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10)[2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

b) \({x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);                     

c) \(({x^{2}} - {\rm{ }}1)\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x\);

d) \({({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2}\).

Hướng dẫn giải

Đưa phương trình về dạng phương trình tích sau đó áp dụng phương pháp giải phương trình tích tìm nghiệm

\(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\)

Hoặc \(A.B.C = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0\\
C = 0
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) \((3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10)[2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[ \matrix{
(3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10){\rm{ }} = {\rm{ }}0(1) \hfill \cr
2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + \sqrt 5 -{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0(2) \hfill \cr} \right.\)

Giải (1): phương trình \(a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0\)

nên \({x_1} =  - 1,{x_2} =  - {{ - 10} \over 3} = {{10} \over 3}\)

Giải (2): phương trình có \(a + b + c = 2 + (1 -  \sqrt{5}) +  \sqrt{5} - 3 = 0\)

nên  \({x_3} = 1,{x_4} = {{\sqrt 5  - 3} \over 2}\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

b) \({x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {x^2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \)

\(\Leftrightarrow \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)({x^2} - {\rm{ }}2){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[ \matrix{
x + 3 = 0 \hfill \cr
{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right.\)

Giải ra \({x_1} = {\rm{ }} - 3,{\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }} - \sqrt 2 ,{\rm{ }}{x_{3}} = \sqrt 2 \)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

c) \(({x^{2}} - {\rm{ }}1)\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x\) 

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {0,6x + 1} \right) = x\left( {0,6x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
0,6x + 1 = 0(1) \hfill \cr
{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0(2) \hfill \cr} \right.\)

(1) ⇔ \(0,6x + 1 = 0 \)

\( \Leftrightarrow {x_1} =  - {1 \over {0,6}} =  - {5 \over 3}\)

Giải phương trình (2) ta có :\(\Delta  = {( - 1)^2} - 4.1.( - 1) = 1 + 4 = 5,\sqrt \Delta   = \sqrt 5 >0\)

Nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: \({x_2} = {\rm{ }}{{1 - \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\)

Vậy phương trình có ba nghiệm:

\({x_1} =  - {5 \over 3},{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\),

d) \({({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2}\)\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} - {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow ({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5).\)

\(({\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} - {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}5){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}(2{x^2} + {\rm{ }}x)\left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}10} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

⇔\( x(2x + 1)(3x – 10) = 0\)

Hoặc \(x = 0\), \(x = -\frac{1}{2}\) , \(x = \frac{10}{3}\) 

Vậy phương trình có 3 nghiệm.