Bài 6 trang 106 SGK Đại số 10

Đề bài

Cho \(a, b, c > 0\). Chứng minh rằng: \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số để chứng minh bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:

\(\begin{array}{l}
\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} \\= \left( {\frac{a}{c} + \frac{b}{c}} \right) + \left( {\frac{b}{a} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{c}{b} + \frac{a}{b}} \right)\\
= \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{a} + \frac{a}{b}} \right) + \left( {\frac{c}{b} + \frac{b}{c}} \right).
\end{array}\)

Ta biết với \(a, b, c > 0\) áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:

\(({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b}) \)\(\ge 2.\sqrt {{a \over c}.{c \over a}}  + 2.\sqrt {{b \over c}.{c \over b}}  + 2.\sqrt {{b \over a}.{a \over b}} \\ = 2.1 + 2.1 + 2.1 = 6\)

Dấu \("="\) xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c.\)

Vậy \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\)